viernes, 15 de septiembre de 2017

Puerta Lógicas y Álgebra de Boole

Las puertas lógicas son el bloque de construcción básico de los sistemas digitales. Operan con números binarios. Por convenio se denomina Tensión alta al 1 y baja o tierra al 0. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando las tres puertas lógicas básicas AND, OR y NOT. En base a estas tres puertas básicas podemos implementar otras puertas como NAND, NOR, OR-Exclusiva y NOR-Exclusiva. Existe un tipo de álgebra, el Álgebra de Boole que, basándose en la teoría de conjuntos, se aplica a sistemas matemáticos en los que sólo existen dos elementos posibles: el 0 y el 1. Por tanto es el instrumento perfecto para el estudio de las puertas.

En el álgebra de Boole es imprescindible conocer las tres operaciones básicas: Suma, Multiplicación y Complementación o Inversión.


Suma, se representa por F=a+b y los casos posibles son:


0+0=0

0+1=1
1+0=1
1+1=1


a+0=a
a+1=1
a+a=a
a+ā=1 


Se corresponde con la puerta lógica OR


Multiplicación, se representa por F=a·b y los casos posibles son:


0·0=0

0·1=0
1·0=0
1·1=1

a·0=0
a·1=a
a·a=a
a·ā=0

Se corresponde con la puerta lógica AND


Inversión, se representa por F=ā
ō=1
ī=0


Se corresponde con la puerta lógica NOT

Leyes fundamentales:
 
- Absorción:
"Variable más variable por algo es igual a variable"
"Variable más variable negada por algo es igual a variable más algo"
 
- Morgan:
"La negada de una suma es el producto de las negadas"
"La negada de un producto es la suma de las negadas"


Método de simplificación por Karnaugh
Podemos afirmar que en los mapas de Karnaugh se pueden simplificar entre si los siguientes grupos de casillas:
  1. Grupos de 2,4,8,16,32 o 64 casillas contiguas según los ejes coordenados, horizontal o verticalmente pero nunca según ejes diagonales.
  2. Los grupos de casillas de los bordes del mapa opuestas entre sí.
  3. El grupo de casillas constituido por las cuatro esquinas del mapa.
Deberemos procurar conseguir grupos del máximo número de casillas, procurando incluir si es posible todos los términos representados, no existiendo ningún problema en que un término pretenezca a más de un agrupamiento. Por descontado que dejaremos de hacer agrupaciones si todos los términos están incluidos ya en algún grupo. Es posible que el resultado de la simplificación varie aparentemente pero en caso que haya varias soluciones todas tendrán el mismo número de puertas.

Tipos de ejercicios de comprensión de puertas que nos pueden pedir:


  • Simplificar funciones sencillas, se aplican las definiciones de suma, producto e inversión y las leyes fundamentales para obtener una función equivalente que no se pueda reducir más.
  • Construir una función a partir de su Tabla de Verdad. Se observan las combinaciones de entradas que hacen que la salida de la función sea uno y se suman los productos de las correspondientes entradas.
  • Representar un circuito a partir de sus función lógica. Se revisa a ver si está simplificada al máximo la función y se representa de acuerdo al convenio de puertas.
  • Construir una función con un determinado tipo de puertas. Se escribe la función solo con el tipo de puertas que se nos pide, por ejemplo si se trata de puertas AND la función habrá que escribirla solo con productos transformando las sumas que encontremos utilizando Morgan.
  • Simplificar funciones complejas, se aplica el método de simplificación de Karnaugh que simplifica al máximo cualquier función haciendo posible representar el circuito con el menor número de puertas.